Option mathématiques : probabilités, statistiques et suites

P(A|B)=P(A∩B)/P(B) si P(B)>0. L’indépendance signifie P(A∩B)=P(A)P(B) ; elle ne signifie pas que les événements ne peuvent pas arriver ensemble. Des événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont pas indépendants. Dans un arbre, multipliez le long d’une branche et additionnez les branches disjointes utiles. La formule des probabilités totales combine une partition de cas : elle évite d’oublier une partie de la population.

Pour choisir k éléments parmi n sans ordre ni répétition, utilisez une combinaison. L’ordre distingue combinaisons, arrangements et permutations. Une expérience de Bernoulli possède deux issues et une probabilité p de succès. Une loi binomiale compte les succès de n essais indépendants de même probabilité : P(X=k)=C(n,k) × p puissance k × (1−p) puissance (n−k), et E(X)=np. Un tirage sans remise ne conserve généralement pas ces hypothèses : vérifiez avant d’appliquer la formule.

Moyenne pondérée, dispersion et représentation graphique décrivent un échantillon ou une population. Un nuage de points peut suggérer un lien ; l’ajustement affine propose une approximation dans un domaine. Une corrélation ne démontre pas une cause. Extrapoler loin des observations peut produire un résultat incohérent. Conservez unités et échelle : modifier l’origine d’un axe peut accentuer visuellement un écart sans changer les données.

Une suite arithmétique ajoute une raison r : u(n)=u(0)+nr. Une suite géométrique multiplie par q : u(n)=u(0) × q puissance n. Pour n termes de u(0) à u(n−1), la somme arithmétique vaut n × (premier+dernier)/2 ; la somme géométrique vaut u(0) × (1−q puissance n)/(1−q) si q≠1. Avec q=1, elle vaut n×u(0). Vérifiez l’indice initial : de u(0) à u(n), il y a n+1 termes.

Une croissance de 5 % répétée relève d’un coefficient 1,05, pas d’une addition constante. Pour une probabilité, indiquez univers, événement et hypothèses. Un résultat final sans ces éléments peut sembler exact tout en répondant à un autre problème. Le travail de démonstration et de justification fait partie de la préparation de l’option, au-delà des QCM de rappel.

Deux essais indépendants ont chacun une probabilité de succès de 0,3. Quelle probabilité d’au moins un succès ? Pour u(0)=100 et u(n+1)=1,05u(n), calculez u(2). Enfin, deux événements incompatibles de probabilités positives sont-ils indépendants ?

Au moins un succès = 1 − aucun succès = 1 − 0,7 × 0,7 = 0,51. Additionner 0,3+0,3 sans retirer le double comptage serait faux. u(2)=100 × 1,05 × 1,05=110,25. Des événements incompatibles ont une intersection de probabilité nulle ; le produit de leurs probabilités positives n’est pas nul : ils ne sont donc pas indépendants.

Vous énoncez indépendance et nombre d’essais, puis contrôlez indices et domaine des formules.