Option mathématiques : fonctions, dérivées et variations

Une fonction associe à chaque élément de son domaine une image unique. Le domaine compte : 1/x exclut 0 ; la racine carrée réelle de x exige x ≥ 0. Sur un graphique, distinguez abscisse, ordonnée, antécédent et image. Une fonction affine f(x)=ax+b a une variation liée au signe de a. La parité se vérifie sur un domaine symétrique : f(−x)=f(x) pour une fonction paire, f(−x)=−f(x) pour une impaire.

La dérivée de x carré est 2x ; celle de x cube 3x carré ; celle de 1/x est −1/x carré sur son domaine ; celle de exp(x) est exp(x). La dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Pour une fonction affine ax+b, elle vaut a. Au point a où la fonction est dérivable, la tangente a pour équation y=f(a)+f’(a)(x−a). La dérivée mesure une variation locale, pas le niveau de la fonction.

Sur un intervalle où les conditions usuelles sont remplies, une dérivée positive indique une fonction croissante, négative une décroissante. Un zéro de dérivée est un point à examiner, pas toujours un extremum : x cube a une dérivée nulle en 0 mais reste croissante. Étudiez les signes de part et d’autre et les bornes du domaine. Pour une fonction factorisée, un tableau de signes aide à résoudre une inéquation ; il doit respecter les valeurs interdites.

Pour f(x)=x carré −4x+3, f’(x)=2x−4. La dérivée est négative avant 2, nulle en 2 et positive après : f décroît puis croît. Le minimum vaut f(2)=−1. La factorisation f(x)=(x−1)(x−3) donne les zéros 1 et 3. Au point d’abscisse 1, f(1)=0 et f’(1)=−2 : tangente y=−2(x−1). Un croquis doit être cohérent avec racines, minimum et variations.

Étudiez g(x)=x carré −6x+5 : dérivée, variations, minimum et racines. Donnez l’équation de la tangente en x=1. Justifiez chaque étape avant de consulter la correction.

g’(x)=2x−6, négative pour x<3 et positive pour x>3. g décroît jusqu’à 3 puis croît ; g(3)=9−18+5=−4. g(x)=(x−1)(x−5), donc racines 1 et 5. g(1)=0, g’(1)=−4, tangente y=−4(x−1)=−4x+4. Le minimum est sous l’axe et situé entre les racines, ce qui fournit un contrôle du croquis.

Vous précisez le domaine, le signe de la dérivée et les valeurs ; un résultat sans justification ne suffit pas.