Algèbre : traduire un problème et vérifier sa solution

Définissez l’inconnue et son unité. « Un abonnement coûte 12 euros puis 3 euros par séance » donne C(x) = 12 + 3x pour x séances. Précisez si x peut être tout réel ou seulement un entier positif. L’énoncé « au plus 42 euros » se traduit par ≤ 42, pas par = 42 dans tous les cas. Une solution algébrique peut devoir être arrondie selon le sens de la contrainte et la nature de l’objet.

Développer utilise la distributivité : 3(x + 2) = 3x + 6. Factoriser fait apparaître un produit : x carré − 9 = (x − 3)(x + 3). Les identités (a + b) carré = a carré + 2ab + b carré et (a − b) carré = a carré − 2ab + b carré évitent des erreurs. Le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés. Pour un produit nul, au moins un facteur est nul ; cette propriété ne se transfère pas à une somme.

Pour 3x + 12 = 42, soustrayez 12 puis divisez par 3 : x = 10. Une transformation doit préserver l’équivalence et respecter les interdictions de division par zéro. Dans une inéquation, multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens : −2x < 6 donne x > −3. Vérifiez avec une valeur test. Pour une expression factorisée du second degré, trouvez les racines et étudiez les signes selon la question.

Un système se résout par substitution ou combinaison. Si x + y = 20 et 2x + 5y = 64, substituez x = 20 − y : 40 − 2y + 5y = 64, donc y = 8 et x = 12. Vérifiez dans les deux équations. Une équation isolée à deux inconnues ne fournit généralement pas une solution unique ; ne créez pas une contrainte manquante pour finir le calcul.

Une salle vend 30 billets : tarif réduit 4 euros, tarif plein 7 euros. La recette vaut 174 euros. Déterminez le nombre de chaque tarif. Résolvez aussi −3x ≤ 12.

Posons r le nombre réduit et p le nombre plein : r + p = 30 et 4r + 7p = 174. En soustrayant quatre fois la première équation de la seconde, 3p = 54, donc p = 18 et r = 12. Vérification : 48 + 126 = 174. Pour −3x ≤ 12, division par −3 : x ≥ −4. Le sens s’inverse ; x = 0 vérifie bien 0 ≤ 12.

Vous définissez les variables, traduisez toutes les données et vérifiez la solution dans le contexte.